2022年高教社杯全国大学生数学建模国赛B题思路

以下，是我对2022年高教社杯全国大学生数学建模国赛B题思路的一些看法和见解，大家有问题可以评论，此贴也作为答疑帖。
先贴题目：




如下是思路分析：
无人机的问题属于近年来的热点问题，以往多为调度问题，此次属于涉及到无人机的定位，在简单定位模型建立的基础上，应该考虑无人机偏差的情况，针对出现的偏差如何进行优化。B题的整体分析如下：
问题1的第（1）问，相当于已经确定1架无人机的位置，另外2架无人机的位置，应该考虑不同无人机位置组合的情况，建立基本的数学模型；问题1的第（2）问，相当于已经知道2架无人机的位置，问还需要几架无人机发射信号，才能实现无人机的有效定位，属于优化类问题，依然建议考虑不同情形，针对不同情况进行模型建立；问题1的第（3）问，类似调度问题，这一小问是在第1、第2问基础上的又一深化，将是B题的核心问题之一，严格来说也属于调度类问题。问题2是在问题1的基础上进行拓展，需要针对不同队形进行调整。如果有相关专业的同学，能够进行模拟仿真，效果是最好的，但是不是也没有关系，也可以做。
针对具体的问题，分析如下：
问题1：
（1）如图1所示，无人机对位置的确定，主要是依据角度。轨迹外围有9架无人机，根据FY00和另外2架无人机进行定位，首先要明确有多少种情形，如图2所示，一共有4种情形，然后再结合无人机的相对位置，相对位置的变化也需要考虑，之后应该针对每一种情形进行模型的建立与求解，定位的原则就是角度一定。也可以先建立一个测量模型，然后改变参数进行分析。



图1 无人机位置确定示意图



图2 无人机位置确定示意图

另外，问题1中的三个问题具有连续性，为了更好的分析内容，可以添加无人机运动的运动模型和队形描述模型，队形描述的目的在于确定相对位置。
飞行器运动模型（不要被复杂的公式吓到，查了很久才查到，自己认真看下就能看懂，改一改，可以直接用。）




队形几何描述：队形的几何描述，可以利用矩阵，进行表示，类似下面这种。




（不做队形几何描述也可以，这一部分可以替换为相对运动模型，B的本质就在于相对运动，根据相对位置进行定位！相对位置模型在此不给予参考了）
（2）问题（2）是问题（1）基础上的深化，应该在问题（1）的基础上进行优化，毋庸置疑，2架是肯定不行的，在某些特定的位置，三架也不见得可以。这一问一定要谨记问题大背景—要求尽可能少发送电磁波信号，因此类似优化问题，在问题一模型的基础上进行优化即可。另外，针对这一问，可以结合题目之间的联系，灵活应对。以下给出自适应变维算法的推导，可以参考，结合问题实际，建立基础模型，之后在此基础上改进，分析结果，进行改进。






（3）是B题的核心问题
针对这一题，提供一共三种思路。
① 如果能力强的话，可以进行模拟仿真，这样效果最好，相信不出意外的话，一定你能从中脱颖而出，仿真对于本题绝对是锦上添花，类似下面这种结果，不是让大家真的仿真出问题3的结果，而是对仿真进行一个展示，根据仿真，读出结果。



航向调整仿真



间距调整仿真

② 不仿真也没关系，这一个题，针对大众来说，可以当做一个优化调度问题。首先将各个飞机的极坐标输入到Matlab中去，得到如下图所示（*是无偏差情况下应该在的位置，o则是实际位置与无偏差情况的对比），目标就是发送信号的次数最少（目标），值得注意的是“圆周上最多3架无人机”，那么也就是说可以2架、可以3架（1架别想了，不可行的），之后可以采用遗传算法等进行求解，从而得出最终的结果。



无人机初始位置示意图



遗传算法流程图

③ 也可以使用贪婪算法进行求解。由于除FY00与FY01外的无人机位置均有偏差，因此，每次选择除FY00外圆周上两架无人机发射信号，对其余无人机进行定位时，均存在一定的偏差。因此，利用贪婪策略选取发射信号的无人机，使得定位偏差尽可能的小。
定义无人机的位置的相对误差：
1）候选集合。为了构造问题的解决方案，有一个候选集合C作为问题的可能解，问题的最终解均取自于候选集合C。
2）解集合。随着贪婪选择的进行，解集合不断扩展，直到构成一个满足问题的完整解。
3）解决函数。检查解集合是否构成问题的完整解。
4）选择函数。即贪心策略，以相对误差δ最小作为发射信号无人机的选取策略。
5）通过位置信息，对无人机位置进行调整。
6）判断无人机位置是否满足题设要求。
问题2：
针对问题2，提供两种方法，根据自己的实际情况，选择自己擅长的方法。
① 问题2可以当做是问题1模型的一个拓展，问题1解决了，问题2应该问题不大，关键在于，注意无人机群队形的变化，问题1是单中心，问题2可以看为是多中心。想要做的更出彩，可以考虑机群之间的相对位置和拓扑关系，设计队形重构策略，最终再建立数学模型。
② 由于问题二中无人机不一定保持同一高度飞行，因此在建立模型时,我们尽可能选择相邻三个无人机发射信号，通过测量其边长与50m的差距，来衡量无人机位置的偏差。因此，针对上述问题可以采用动态规划模型进行求解。
动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题,但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。在本题中，我们选择每次调整无人机位置作为一个时刻。建立动态规划模型。
主要步骤为：
先建立起动态规划的数学模型：
1）将过程划分成恰当的阶段。
2）正确选择状态变量: xk，使它既能描述过程的状态，又满足无后效性，同时确定允许状态集合xk。
3）选择决策变量uk，确定允许决策集合uk（xk）。
4）写出状态转移方程。
5）确定阶段指标vk （xk,uk）及指标函数vkn的形式(阶段指标之和，阶段指标之积，阶段指标之极大或极小等)。
6）写出基本方程即最优值函数满足的递归方程，以及端点条件。

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问题一测量模型具体是什么样的啊

请问第一问是半径和角度都有偏差还是只有角度偏差

发射信号的无人机能接收信号嘛？

第一问可以通过解三角形来确定各无人机的位置吗

[爱]

无人机知道不知道自己角度对应的两个无人机编号

第一小问的两个模型怎么用，都是未知量，怎么确定准备位置

其实就是根据角度，或者说相对位置实现定位，说白了，就是解三角形确定位置，但是要考虑一下不同情形，问题1的第（1）问有4种情形，编程求解完全没有问题（已经完成编程求解）；个人认为问题1的第（2）问，还需要1架，参考问题1就知道了；发射信号的肯定可以接受信号，但是应该不存在发射的同时还接受的情况

其实就是根据角度，或者说相对位置实现定位，说白了，就是解三角形确定位置，但是要考虑一下不同情形，问题1的第（1）问有4种情形，编程求解完全没有问题（已经完成编程求解）；个人认为问题1的第（2）问，还需要1架，参考问题1就知道了；发射信号的肯定可以接受信号，但是应该不存在发射的同时还接受的情况