秒杀一种导数恒成立-九品数学答疑选

题：对任意的 x\in\left(e^{-\frac{1}{2}},1\right)，(ax-2)\ln x<\ln a 恒成立，求 a 的取值可以是（      ）
A. \sqrt{2}       B. \sqrt{e}       C. \frac{3}{2}        D.2
解：令 f(x)=(ax-2)\ln x<\ln a ， f'(x)=a(\ln x+1)-\frac{2}{x} ，因为导函数单增，要让 f(x)<0 恒成立，就只需要端点满足即可.
因为 f(x) 的图像只有下面三种：


无论哪种情况，都只需要端点函数值小于等于0就行.
即 f\left(e^{-\frac{1}{2}}\right)\leq 0 ， f(1)\leq 0 .这里之所以有等号，是因为定义域的两个端点不能取.
不过其中有一个不等式解不出来： \sqrt{e}a+2\ln a-2>0 ，我们可以大致判断一个范围，当 a=\sqrt{e} 时，该式小于0，所以 a>\sqrt{e} ，只有选项D符合

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思路甚好！[赞][赞][赞] 但是计算有误，左端点代入后你化简的式子和我不一样，我的式子化完根号e刚好是零点，即a的范围可求：根号e到正无穷开区间。

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